759 De techniek om het door te rekenen met AI (4)
En door! Ik laat het verbeterde model uit de vorige aflevering even voor wat het is. Het was even proeven aan of er iets zinnigs uit kon komen. En ja, die hoop heb ik. Maar laten een stap terug doen. AI moet het hele model van toen maar eens tot zich nemen als een set wiskundige vergelijkingen. Die staan netjes onder elkaar in de appendix inclusief de gehanteerde numerieke waarden van de parameters. Over de rekentechniek valt ook veel te zeggen, AI kan dat allemaal terug vinden in de eerste hoofdstukken. Mijn doel is om een willekeurige tabel met numerieke uitkomsten te reproduceren. Puur om te kijken of dat lukt. Want als dat lukt (nog geen idee) dan pas is het zinvol verder te gaan met nieuwe versies van het model van banken.
AI lijkt mijn vraag goed op te pakken en zegt dat het nu mogelijk moet zijn deze (door mij gekozen) tabel exact na te rekenen. Hij komt met allerlei mogelijkheden, zie onder, die ik niet helemaal snap, maar prima, laat maar gaan, de proof of the pudding is in het opleveren van de cijfers!
Is ai zover dat dit model met gegeven parameters kan worden doorgerekend? De wiskunde is gebaseerd op Hamiltonianen en Pontryagin inzichten uit de Russyruimtvaart. De technien heet multiple shooting, een pad berekenen tussen 2 steady states.
Kan het bankmodel nu beter wiskundig worden doorgerekend?
De korte conclusie is: ja, technisch kan dit nu veel beter dan begin jaren negentig. Maar niet doordat AI de economie “begrijpt” of automatisch oplost. De echte vooruitgang zit in de combinatie van AI met moderne numerieke software: automatische differentiatie, nonlinear solvers, boundary-value solvers, collocation en multiple shooting.
Jouw model hoort tot de klasse van intertemporele optimalisatiemodellen met perfect foresight. De overgang van de ene steady state naar de andere is dan geen gewone voorspelling, maar een tweepunts-randwaardeprobleem. De economie begint in een oude stationaire toestand, krijgt een structurele schok of beleidswijziging, en beweegt daarna langs een pad naar een nieuwe stationaire toestand.
Dat sluit aan bij de techniek die je destijds gebruikte: Hamiltonianen, costate-variabelen, Pontryagin en multiple shooting. De wiskunde is dus niet verouderd. Alleen de beschikbare rekenmiddelen en programmeerhulpen zijn sterk verbeterd.
1. Het model als dynamisch randwaardeprobleem
In moderne notatie zou je het model eerst compact herschrijven als een systeem van differentiaal- en algebraïsche vergelijkingen:
Hierbij zijn \(x(t)\) de echte toestandsvariabelen, bijvoorbeeld kapitaal, financiële vermogens, bankvermogen of eventueel reserves. De variabelen \(z(t)\) zijn de algebraïsche of springende variabelen: consumptie, arbeid, prijzen, lonen, rente, \(q\), dividend en marktclearingvariabelen.
De oude steady state wordt bepaald door:
De nieuwe steady state na een schok of beleidswijziging wordt bepaald door:
De overgang daartussen is het pad waarvoor geldt:
De state-variabelen mogen niet springen, omdat zij door het verleden zijn bepaald. De jump-variabelen mogen dat wel. Dat is precies waarom financiële prijzen, \(q\), rente en soms consumptie onmiddellijk reageren op nieuwe informatie, terwijl kapitaal en andere voorraden geleidelijk bewegen.
2. Waarom AI hierbij nu nuttig is
AI kan vooral helpen bij de vertaling van het oude model naar een moderne rekenspecificatie. Dat betekent niet dat AI zelf de economische oplossing verzint. Het betekent wel dat AI goed kan helpen bij:
- het reconstrueren van vergelijkingen uit het proefschrift;
- het herkennen van state-, control-, costate- en jump-variabelen;
- het uitschrijven van de Hamiltoniaan;
- het controleren van eerste-ordevoorwaarden;
- het opzetten van steady-state vergelijkingen;
- het genereren van Python-, Julia-, CasADi- of Pyomo-code;
- het testen van residuals;
- het opsporen van inconsistenties in marktclearing en budgetrestricties.
De belangrijkste waarschuwing is dat AI niet vrij mag improviseren. In jouw type model moet elke rente, elke kost, elke transfer en elke restrictie boekhoudkundig en algemeen-evenwichtig kloppen. Een boete voor banken is bijvoorbeeld niet zomaar een kostenpost. Zij is inkomen voor overheid, centrale bank of een andere sector en moet dus elders terugkomen.
3. Multiple shooting blijft een passende methode
Bij multiple shooting wordt het lange overgangspad niet in één keer geschoten. Je knipt de horizon op in meerdere intervallen:
Op ieder interval wordt het dynamische systeem geïntegreerd. Daarna leg je matching-condities op:
Zo ontstaat één groot niet-lineair stelsel. Dat stelsel bevat de beginvoorwaarden, eindvoorwaarden, continuïteitsvoorwaarden en alle algebraïsche marktclearingvoorwaarden.
Het voordeel is dat het pad numeriek veel stabieler wordt. Een zadelpad is immers gevoelig: als je vanaf het begin net verkeerd schiet, explodeert het systeem. Multiple shooting verdeelt die gevoeligheid over meerdere stukken.
4. Maar misschien is collocation nu praktischer
De oude methode past goed bij de Pontryagin-traditie. Maar voor praktisch doorrekenen zou ik nu ook direct collocation proberen. Dan discretiseer je het hele pad tegelijk:
Vervolgens laat je een nonlinear solver alle punten tegelijk kiezen, onder alle dynamische, algebraïsche en marktclearingrestricties.
Dat is vaak robuuster wanneer het model veel simultane markten bevat. En dat is bij jouw bankmodel precies het geval: goederenmarkt, arbeidsmarkt, aandelenmarkt, kredietmarkt, geldmarkt, eventueel licentiemarkt en overheidsbudget.
5. De bank in moderne vorm binnen jouw model
De bank zou ik nu niet meer modelleren als een gewone productiefunctie waarin arbeid krediet produceert. Dat was destijds verdedigbaar, maar het blijft te veel lijken alsof krediet een fysiek product is. Beter is een balansmodel:
Hierbij staat \(L_t\) voor leningen, \(H_t\) voor reserves of liquiditeiten, \(D_t\) voor deposito’s of bankgeld, en \(N_t\) voor eigen vermogen van de bank.
De geldcreatie zit dan in:
De bank creëert dus krediet en tegelijk deposito’s. Dat sluit aan bij jouw oorspronkelijke inzicht: banken geven niet alleen bestaand spaargeld door, maar creëren een geldachtig activum.
6. Geen willekeurige multiplier, maar een echte restrictie
De grens aan kredietschepping mag geen losse multiplier zijn. Binnen perfect foresight kan zij ook niet simpelweg uit risico komen, want echte onzekerheid ontbreekt. De betere oplossing is een restrictie op basis van afdwingbaarheid, onderpand of franchise value.
Optie A: onderpandrestrictie
Hier is \(\chi\) geen geldmultiplier, maar het deel van kapitaal of toekomstige inkomsten dat juridisch en economisch afdwingbaar is. Zelfs in een wereld met perfect foresight kan niet alles worden verpand.
Optie B: franchise-value restrictie
Dit past het mooist bij jouw latere bankkritiek. De bank kan slechts krediet scheppen zolang de waarde van haar toekomstige bankprivilege groot genoeg is om vertrouwen en discipline te dragen.
De bankwaarde is dan:
De bankvergunning wordt hierdoor geen technische kunstgreep meer, maar de bron van franchise value. De licentie heeft waarde omdat zij toegang geeft tot toekomstige kasstromen uit geldschepping, betalingsverkeer en kredietverlening.
7. De licentieveiling netjes in het model
Als bankvergunningen schaars zijn, kun je ze behandelen als een apart activum:
De prijs van de licentie, \(Q^S_t\), komt dan uit de markt voor banklicenties. Als de overheid licenties veilt of periodiek concessievergoedingen vraagt, ontstaat publieke opbrengst:
Die opbrengst moet via het overheidsbudget terugkomen bij huishoudens, bijvoorbeeld als transfer:
Zo voorkom je precies het probleem dat jij terecht noemt: kosten of opbrengsten mogen niet verdwijnen. Wat voor de bank een kostenpost is, is voor overheid of huishoudens een inkomstenstroom.
8. De minimale moderne modelkern
Een sobere moderne versie van jouw bankmodel zou kunnen bestaan uit:
Hiermee heb je geen willekeurige multiplier nodig. De grens aan kredietschepping ontstaat uit transactievraag, onderpand, afdwingbaarheid, franchise value en het publieke bankprivilege.
De kernformulering wordt dan:
In een perfect-foresight-model kan bankrisico niet als echte onzekerheid functioneren. De grens aan bankkrediet moet daarom komen uit afdwingbaarheid, onderpand, liquiditeitswaarde en franchise value. Banken kunnen geld uit het niets maken, maar alleen zolang dat geld wordt gedragen door vertrouwen, transactievraag, onderpand en een publiek verleende vergunning.
9. Praktische aanpak voor doorrekening
De verstandigste route is niet meteen het nieuwe bankmodel bouwen. Eerst moet het oude model worden gereproduceerd.
- Stap 1: reconstrueer één oude simulatie uit het proefschrift.
- Stap 2: controleer alle steady-state waarden.
- Stap 3: controleer alle residuals van marktclearing en budgetrestricties.
- Stap 4: vervang pas daarna de oude kredietproductiefunctie door een balansmodel.
- Stap 5: voeg daarna onderpand, franchise value en licentieveiling toe.
De historische les is mooi: wat in 1991 een specialistisch numeriek avontuur was, is nu een haalbaar reconstructieproject. Niet omdat de economische theorie ineens eenvoudig is, maar omdat de vertaalslag van Hamiltoniaan naar code, Jacobiaan, steady state, shooting-condities en foutdiagnose veel beter ondersteund wordt.
