758 Bankmodel verbeteringen anno 2026 (3)
Deel 3 in deze serie over het modelleren van een bank in een klein algemeen evenwichtsmodel. AI is vrij kritisch op een aantal van mijn aannames in die tijd. Ook toen al kon het beter. Toch vergeet AI dan dat ik eisen stel aan het model. Ik zoek niet zomaar naar een bank-model maar ik wil het inpassen in het soort modellen waar ik mee werkte (binnen mijn onderzoeksgroep). Het gedrag moet micro-economisch onderbouwd zijn en werken binnen de context van een rondlopende macro-economie (waar ‘actoren’ allemaal hun eigen doelstellingen optimaliseren). Ook is er in dit soort modellen geen onzekerheid (dat mag wel, maar dan moet je ook daar wiskundige onderbouwing aan geven, al helemaal een paar bruggen te ver destijds), maar perfect foresight (ook heel raar, maar je moet de economen die ook nu nog zo werken maar de kost geven …).
- Ik ben onder de indruk van AI, er komen echt zinnige aanvullingen en alternatieven uit de bus. Had ik destijds maar deze tools tot mijn beschikking gehad? Of eigenlijk: dan had het onderzoek er natuurlijk ook heel anders uitgezien! Wat de vraag stelt: hoe gaat dit soort onderzoek voortaan nu we deze tools wél hebben? Indruk maken met ingewikkelde wiskunde is geen optie meer, iedereen kan dat met wat prompts doen. Zal het dan eindelijk meer gaan over de kern van het model, een discussie over wat wel en niet zinvol is, het gesprek en de discussie, maar dan met consistentie onderbouwing? Kijk ook naar de wiskundige notatie door AI, heel fraai.
- Toch zie je ook hier en nu al: zomaar conclusies overnemen van AI gaat niet. Je moet wakker blijven en checken. AI komt met invullingen die strijdig zijn met mijn wensen. Daarom zal ik later ook vragen om zijn eigen suggesties om te zetten in een geheel nieuw model met expliciete vergelijkingen, en om het door te rekenen. Haha, dat zal hem opbreken, dat gaat namelijk niet werken. Hieronder zie je al dat ik de zaak moet intomen met extra opdrachten en vragen.
- Eerlijk: ik kan niet alles meer volgens na 35 jaar, ik ben geen onderzoeker of wetenschapper (meer), heb de literatuur niet meer bijgehouden, heb de skills en expertise niet meer om dat allemaal uit te vogelen. Daarom wil ik hierna ook door naar het uitbreiden van het model naar meer visie op de economie, meer aansluitend bij mijn latere consultancy-werk (waar nooit met modellen wordt gewerkt, hooguit met spreadsheets maar vooral met powerpoints, brrrr).
Allemaal leuk en aardig maar hoe kan ik dan nu wiskundig de bank beter modelleren binnen de context van mijn model? Zomaar een willekeurige ratio of multiplier opnemen is ook niet onderbouwd. Dat moet dan afhankelijk worden van het risico maar dit is perfect foresight model.
Hoe modelleer je een bank beter in een perfect-foresight-model?
De harde kern van het probleem is deze: binnen een perfect-foresight-model kun je risico niet zomaar gebruiken als rem op kredietexpansie. Als iedereen alles zeker weet, is er geen echt kredietrisico. Of het verlies is volledig voorzien en dus gewoon een deterministische kostenpost.
De vraag is daarom niet: hoe voeg ik risico toe? De betere vraag is: welke niet-arbitraire frictie kan binnen perfect foresight de expansie van een waardemaximaliserende bank begrenzen?
1. Niet beginnen met een multiplier, maar met een balans
De moderne versie zou beginnen met een expliciete bankbalans. Niet met een losse geldmultiplier, niet met een willekeurige reserveverhouding, maar met de simpele vraag: wat staat er op de balans van de bank?
Lt + Ht = Dt + NtDaarbij staat L voor leningen, H voor reserves of liquiditeiten, D voor deposito’s of bankgeld, en N voor het eigen vermogen van de bank.
Bij kredietverlening creëert de bank tegelijk een actief en een passief. De lening komt aan de activakant van de balans. Het deposito verschijnt aan de passivakant.
ΔLt = ΔDtDaarmee blijft het centrale inzicht overeind: een bank leent niet simpelweg bestaande besparingen door. Zij creëert krediet dat in de economie als betaalmiddel kan functioneren.
2. De bank maximaliseert waarde
De bank blijft in deze versie een gewone onderneming. Zij maximaliseert de waarde van haar aandelen. Alleen wordt de oude productiefunctie voor krediet vervangen door een balans- en kasstroommodel.
πbt = RLtLt + RHtHt – RDtDt – wtlbt – Ψ(Lt, Kt, Nt)De bank verdient aan rente op leningen en reserves, betaalt rente of kosten op haar deposito’s en funding, betaalt arbeid, en maakt kosten voor monitoring, administratie, liquiditeit, wanbetaling of kapitaalgebruik.
De waarde van de bank kan vervolgens worden geschreven als de contante waarde van toekomstige dividenden:
Vbt = ∫t∞ e-∫ts rudu dbsdsTot zover blijft de oude intuïtie intact: de bank is een waardemaximaliserende onderneming. Alleen wordt duidelijker waar haar inkomsten, kosten en beperkingen zitten.
3. De beste rem: franchise value of afdwingbaarheid
De elegantste oplossing is om de bank niet te begrenzen met een willekeurige multiplier, maar met de waarde van haar toekomstige bankprivilege.
θLt ≤ VbtIn woorden: de bank mag slechts zoveel krediet creëren als geloofwaardig wordt gedragen door de waarde van haar toekomstige bankbedrijf.
De parameter θ staat dan niet voor toevallig risico, maar voor een afdwingbaarheidsprobleem: moreel risico, reputatierisico, toezichtsfalen, opportunistisch gedrag of het risico dat het vertrouwen in de bank verdwijnt. Dat past ook binnen perfect foresight. Het gaat niet om onzekerheid over de toekomst, maar om de vraag welk deel van de bankactiva maatschappelijk geloofwaardig en afdwingbaar is.
Als de bankwaarde evenredig is met het eigen vermogen:
Vbt = νtNtdan volgt:
Lt / Nt ≤ νt / θDit lijkt op een leverage-ratio, maar is geen willekeurige ratio. De maximale kredietruimte hangt af van de waarde van de bank als going concern en van de mate waarin bankactiva geloofwaardig kunnen worden afgedwongen.
4. De bankvergunning wordt dan belangrijker, niet minder belangrijk
In mijn oude model was de bankvergunning deels een technische kunstgreep. Zij moest voorkomen dat de kredietproductie onbegrensd werd. In deze nieuwe formulering wordt de bankvergunning de bron van franchise value.
De bank kan krediet scheppen omdat zij een vergunning, reputatie en toekomstige winststroom bezit. Die toekomstige winststroom disciplineert haar gedrag.
De bankvergunning is dan niet zomaar een administratief papiertje. Zij is een institutioneel privilege. Zij geeft toegang tot betalingsverkeer, vertrouwen, centrale-bankliquiditeit, toezicht, depositogarantie en geldschepping.
Dat maakt ook het idee van het veilen van bankvergunningen interessanter. Als de vergunning waarde heeft doordat zij toegang geeft tot geldscheppende kasstromen, dan is het redelijk dat de gemeenschap daarvoor compensatie vraagt.
Maar er zit een belangrijke nuance in. Als de overheid alle licentierente afroomt, daalt de franchise value van de bank. Daarmee kan ook de disciplinerende werking van die franchise value verdwijnen. Een betere formulering is dus:
Vbt = ∫t∞ e-∫ts rudu (1 – τLs)ΠLsdsDe overheid kan een deel van de licentierente afromen, maar niet noodzakelijk alles. Dan ontstaat een echte beleidsvraag: wat is het optimale tarief waarbij de gemeenschap wordt gecompenseerd, zonder dat de bankdiscipline en kredietcapaciteit worden vernietigd?
5. Een tweede mogelijkheid: onderpand of pledgeable income
Een andere route is om kredietexpansie te koppelen aan onderpand of toekomstige terugbetaalcapaciteit.
Lt ≤ χqtKtOf algemener:
Lt ≤ χ · PVt(toekomstige kasstromen van de debiteur)Ook hier is χ geen willekeurige multiplier, maar het deel van kapitaal of toekomstig inkomen dat geloofwaardig verpand kan worden.
Dan wordt kredietexpansie begrensd door de reële economie. De bank kan geld creëren, maar alleen voor zover daar onderpand, toekomstig inkomen of terugbetaalcapaciteit tegenover staat.
Dit sluit direct aan bij de woningmarkt. Bij hypotheken wordt kredietcreatie gekoppeld aan onderpandwaarde. Daardoor kan een gevaarlijke terugkoppeling ontstaan:
Lt ↑ → qt ↑ → χqtKt ↑ → Lt ↑Meer krediet verhoogt de prijs van het onderpand. Een hogere onderpandwaarde vergroot de kredietruimte. En die grotere kredietruimte kan de prijs verder opdrijven.
6. Een derde mogelijkheid: deterministische kwaliteitsverslechtering
Zelfs zonder onzekerheid kun je zeggen dat extra kredietverlening niet onbeperkt even goed is. Als de bank verder uitbreidt, moet zij steeds minder sterke kredietvragers bedienen. Dat hoeft geen toevalsrisico te zijn. Het kan ook een voorzienbare, deterministische kwaliteitsverslechtering zijn.
ΛL > 0, ΛLL > 0De marginale verlies-, monitoring- of kwaliteitskosten lopen dan op met het kredietvolume. De bank maximaliseert:
πbt = (RLt – RDt)Lt – Λ(Lt, Kt) – overige kostenDe eerste-ordevoorwaarde wordt dan:
RLt – RDt = ∂Λ / ∂Lt + schaduwkosten van kapitaal en liquiditeitDit is beter dan een productiefunctie voor leningen. Je doet dan niet alsof krediet een fysiek product is. Je zegt: extra krediet is mogelijk, maar de marginale kwaliteit van krediet neemt af.
7. Een vierde mogelijkheid: liquiditeit en betalingsverkeer
Nog dichter bij modern bankieren is een model waarin de bank reserves aanhoudt omdat betalingen moeten worden afgewikkeld. Dan is de reserve niet simpelweg een opgelegde ratio, maar een liquiditeitsbuffer.
πbt = RLtLt – RDtDt – C(Ht, Dt)De bank houdt reserves aan omdat deposito’s kunnen wegstromen, betalingen tussen banken moeten worden vereffend en liquiditeit schaars kan zijn. Binnen een representatief éénbankmodel werkt dit minder goed. Daarvoor heb je eigenlijk meerdere banken of interbancaire betaalstromen nodig.
8. De minimale reconstructie van mijn oude model
Als ik mijn oude model zo dicht mogelijk bij de oorspronkelijke stijl zou willen houden, zou ik kiezen voor deze minimale reconstructie:
Stap 1 — bankbalans
Lt + Ht = Dt + NtStap 2 — geldvraag via cash-in-advance of liquidity services
Dt + M0h,t ≥ PtctStap 3 — bankwinst
πbt = RLtLt + RHtHt – RDtDt – wtlbt – Λ(Lt,Kt)Stap 4 — bankvermogen
̇Nt = πbt – dbtStap 5 — bankwaarde
Vbt = ∫t∞ e-∫ts rudu dbsdsStap 6 — endogene leveragebeperking
θLt ≤ VbtDaarmee heb je geen losse multiplier meer. Kredietexpansie wordt begrensd door de waarde van het bankprivilege, het eigen vermogen van de bank, marginale kredietkosten, de vraag naar betaalmiddelen en eventueel liquiditeitskosten.
9. De conceptuele winst
Het mooiste is dat de oude banklicentie niet verdwijnt, maar promoveert. In het oude model was de banklicentie vooral nodig om het model niet te laten ontsporen. In de nieuwe versie wordt zij de institutionele bron van franchise value.
In een perfect-foresight-model kan bankrisico niet als echte onzekerheid functioneren. De grens aan kredietschepping moet daarom komen uit afdwingbaarheid, onderpand, franchise value, liquiditeitskosten of deterministisch oplopende kredietkwaliteitkosten.
De meest natuurlijke oplossing binnen mijn oude model is daarom een endogene leveragebeperking: de bank mag slechts zoveel geldscheppend krediet uitzetten als gedragen wordt door de contante waarde van haar toekomstige bankprivilege.
Bronnen en aanknopingspunten: deze tekst sluit aan bij mijn proefschrift Modelling financial assets in macroeconomic theory (1991), met name het hoofdstuk over de banking firm. Voor moderne verwante benaderingen zie onder meer literatuur over financiële intermediairs, endogene balansrestricties, liquiditeitsmanagement en commerciële geldcreatie door banken.
Je kunt niet zomaar rentes formuleren. De rente is de uitkomst van clearing van een markt. Meerdere rentes zijn meerdere markten en die moeten ook gemodelleerd worden. Verder zijn eventuele boetes of kosten van reserves bij de bank weer inkomsten van anderen die ook weer terug moeten komen in het model.
De rente is geen knop in het model
De discipline van mijn proefschrift was juist dat elke prijs — dus ook de rente — uit het model moest komen via optimalisatie en marktclearing. De bank werd daarin als onderneming opgenomen, niet als losse boekhoudkundige truc.
De harde conclusie
Dat betekent ook: zonder extra frictie krijg je geen zelfstandige banktheorie. Dan valt de bank terug tot een doorgeefluik of tot een onderneming zonder eigen economische grens.
Wat dan wél kan
Je moet niet beginnen met rentes, maar met activa en restricties.
Bijvoorbeeld:
Maar dan is dit nog geen model. Het wordt pas een model als je erbij specificeert:
Anders is het alleen boekhouding.
De rente moet uit clearing komen
Stel je hebt alleen één veilig financieel activum. Dan is er maar één rente: rt.
Die rente komt uit de intertemporele keuze van de consument: consumptie nu versus consumptie later. In mijn model is dat de klassieke Euler-logica.
Wil je daarnaast een leenrente rLt, dan moet er een leningenmarkt zijn:
Wil je een depositorente rDt, dan moet er een depositomarkt zijn:
Wil je een reserverente rHt, dan moet er een reservemarkt of centrale-bankmechanisme zijn:
Of de centrale bank zet de prijs en levert de hoeveelheid. Maar dan is het geen markt-clearing rente meer, maar een beleidsregel.
De beste route: geen extra rentes, maar schaduwprijzen
Om dicht bij mijn oude model te blijven, zou ik niet meteen meerdere expliciete rentes invoeren. Ik zou werken met één algemene discontovoet of rente, en de verschillen laten ontstaan als schaduwprijzen van restricties.
Bijvoorbeeld: deposito’s leveren transactiediensten. Dan accepteren consumenten een lager pecuniair rendement op deposito’s, niet omdat je zomaar een lage depositorente postuleert, maar omdat deposito’s een liquiditeitswaarde hebben.
Dan krijg je conceptueel:
Maar die liquiditeitspremie komt uit de multiplier op bijvoorbeeld:
Dat past veel beter bij de cash-in-advance aanpak. De “spread” tussen gewone rente en depositorente is dan de prijs van liquiditeit.
Reserves zijn geen kosten zonder tegenpartij
Ook hier geldt: een reserve-eis is op zichzelf geen maatschappelijke kostenpost. Het is een balansrestrictie.
Als de bank reserves moet aanhouden:
dan is de “kost” voor de bank hoogstens een opportunity cost: reserves leveren minder op dan leningen. Maar als reserves rente opleveren, moet iemand die rente betalen. Als reserves géén rente opleveren terwijl de centrale bank de opbrengst elders boekt, dan is dat seigniorage of centrale-bankwinst. Die moet uiteindelijk terugkomen bij overheid of huishoudens.
Dus je krijgt een overheids- of centrale-bankbudget:
en dat komt terug in de huishoudbudgetrestrictie als transfer: + Tt. Anders lekt er geld uit het model.
De echte verbetering zit dus niet in een ratio, maar in een restrictie met economische betekenis
De vraag wordt dan:
Ik zie drie verdedigbare kandidaten binnen perfect foresight.
1. Liquiditeitsrestrictie
Deposito’s zijn nodig voor transacties:
De bank creëert deposito’s door kredietverlening. De vraag naar bankgeld komt dus uit transacties. De prijs van dat voordeel is de liquiditeitspremie. Dit redt de vraag naar geld.
Maar het begrenst de bank nog niet volledig.
2. Pledgeability- of onderpandrestrictie
Leningen kunnen alleen worden verstrekt voor zover toekomstige inkomsten of kapitaal juridisch afdwingbaar zijn:
Hier is χ geen simpele multiplier in de oude geldscheppingszin, maar een parameter voor afdwingbaarheid: welk deel van kapitaal of toekomstige opbrengsten kan werkelijk als onderpand dienen?
Dit past goed bij perfect foresight. Er is geen onzekerheid nodig. Zelfs als iedereen de toekomst kent, kan niet alles worden verpand: arbeid, reputatie, toekomstige inzet en moreel gedrag zijn niet volledig verhandelbaar.
3. Franchise-value restrictie
Dit vind ik voor het banklicentie-thema de mooiste.
De bank mag alleen krediet en deposito’s creëren zolang de waarde van haar toekomstige bankprivilege groot genoeg is om vertrouwen af te dwingen:
waarbij:
Dit betekent: de bank kan niet onbeperkt groeien, omdat haar geldscheppende vermogen rust op vergunning, reputatie, toezicht en toekomstige winst. Als zij te veel krediet creëert ten opzichte van haar franchise value, wordt haar bankgeld niet meer geloofwaardig.
Ook hier is θ geen geldmultiplier, maar een institutionele afdwingbaarheidsparameter. De feitelijke kredietruimte wordt endogeen, want Vbt hangt af van toekomstige bankwinsten, licentiewaarde, toezicht, marktmacht en transfers.
Dan wordt het veilingidee elegant inpasbaar
Als bankvergunningen waarde hebben, kun je die waarde modelleren als een schaarse claim:
De bank moet een licentie bezitten om deposito’s en krediet te mogen creëren. De prijs van die licentie is:
Die prijs komt uit de markt voor banklicenties:
Als de overheid licenties veilt, ontvangt zij:
of bij periodieke concessies een licentiefee:
Die opbrengst gaat naar de overheid en via transfers terug naar huishoudens:
Dan is het latere idee wiskundig netjes:
De kerncorrectie op het oude model
De oude productiefunctie voor krediet was begrijpelijk:
met afnemende meeropbrengsten.
Maar nu zou ik zeggen: dat modelleert krediet te veel alsof het een fysiek product is. Beter is:
En de begrenzing komt niet uit fysieke productie, maar uit:
Dus niet:
Maar:
De minimale nette versie
Als je het zo dicht mogelijk bij het oude model wilt houden, zou ik kiezen voor deze set:
Daarmee heb je:
Noot voor de blog: dit blok is bedoeld als reflectie op het oorspronkelijke bankmodel uit mijn proefschrift, waarin de bank als waardemaximaliserende onderneming werd gemodelleerd en de geldhoeveelheid endogeen werd gemaakt.
